关于排序不等式的猜想

之前一篇关于排序表达式的文章谈到一个猜想：对于三个乃至任意有限多个正实数序列是否有与两个序列同样的结论？

这里之所以只讨论正实数序列是因为序列若出现负数则猜想显然已经不成立，例如a=b={-3,-2,-1}，c={4,5,6}，此时的正序和为36+20+6=62，而将c调整为反序之后能得到54+20+4=78>62。

如果限定为正序列猜想是否成立呢？

首先，如果序列数大于2，则已经无法定义反序和。如果定义反序和为一个集合，即各序列反序正序任取其一组合之后求和之值的集合（当然要除去各序列全为正序或者全为反序的情形），那么是否其他乱序和都要大于这个集合的最小值呢？对于这个问题答案也是否定的。

令a={5,6,7.5,8}，b={9,10,11,12}，c={1,2,2.4,4}，当c反序，a、b正序，所取得的值为反序和集合中的最小值：585，但是若c保持反序，a保持正序，b调整为{9,11,10,12}，此时可以得到584.4<585。

以上说明了当扩展到多序列，排序不等式的左边部分已经不成立，哪怕是放宽定义。那对于右边部分是否仍然成立呢？答案是肯定的。

我们只对3序列的情形进行证明，序列数再增加，证明方法也是类似的。对于乱序和： \[ a_{\sigma(1)}b_{\phi(1)}c_1+\cdots+a_{\sigma(n)}b_{\phi(n)}c_n \] 可将\( a_{\sigma(i)}b_{\phi(i)} \)视为一序列，不妨记为\( x_i \)，对于\( c \)和\( x \)两个序列运用排序不等式将和值调整为最大，假定此时与\( c_1 \)相乘的为\( a_{\sigma(i)}b_{\phi(i)} \)并且\( \sigma(i)\not=1 \) 和 \( \phi(i)\not=1 \)至少有一个成立，不妨设\( \phi(i)\not=1 \)。假定\( \phi(k)=1 \)，此时\( b_{\phi(k)} \)相乘的为\( a_{\sigma(k)} \)和\( c_j \)（假定）。依据排序不等式的性质显然此时有\( a_{\sigma(i)}b_{\phi(i)}c_1 \leq a_{\sigma(k)}b_{\phi(k)}c_j \)并且\( b_{\phi(k)} = b_1 \leq b_{\phi(i)} \)，于是\( a_{\sigma(i)}c_1 \leq a_{\sigma(k)}c_j \)，从而可将\( a_{\sigma(i)}b_{\phi(i)}c_1 + a_{\sigma(k)}b_{\phi(k)}c_j \)放大为 \( a_{\sigma(i)}b_{\phi(k)}c_1 + a_{\sigma(k)}b_{\phi(i)}c_j = a_{\sigma(i)}b_1c_1 + a_{\sigma(k)}b_{\phi(i)}c_j \)，这样就将 \( b_1 \)和\( c_1 \)调整到了一起，类似的方法可在保持\( b_1 \)和\( c_1 \)在一起的前提下将 \( a_1 \)和 \( c_1 \)也调整到一起，重复这样的过程就可将和值逐步放大为顺序之和。从而证明了猜想。